Հանրահաշիվ

252., 253.

Վարժ. 141

ա)sin²π/8+2sin²π/12=1-cosπ/4 / 2+2×1-cosπ/6 / 2=1-√2/2/2 / 2+1-√3/2=2-√2/4 +1-√3/2=2-√2+4/4 – √3/2=6-√2/4 – √3/2=6-√2-2√3/4
բ)cos²π/12-sin²π/8=1+cosπ/6 / 2 – 1-cosπ/4 / l2)=2+√3-2+√2/4=√3+√2/4

Վարժ. 142

ա)sin2a-2sina/cosa-1=2sina cosa-2sina/cosa-1=2sina(cosa-1)/cosa-1=2sina
բ)sin2αctgα-1=2cos²α-cos²α-sin²α=cos²α-sin²α=cos2 α
դ)(tgα+ctgα)sin2α=sinα/cosα+cosα/sinα)×2sinαcosa=(sin²α+cos²α)/sinαcosα×2sinαcosα=1/sinαcosα×2sinαcosα=2sinαcosα/sinαcosα=2

Վարժ. 143

ա)sin2α-2sinα/cosα-1=2sinαcosα-2sinα/cosα-1=2sinα(cosα-1)/cosα-1=2sinα
բ)sin2α×ctgα-1=2cos²α-(cos²α+sin²α)=2cos²α-cos²α-sin²α=cos²α-sin²α=cos2α
գ)cos2α-cos²α/1-cos²α=cos²α-sin²α-cos²α/sin²α=-sin²α/sin²α=-1
դ)(tgα+ctgα)sin2α=(sinα/cosα+cosα/sinα)×2sinαcosα=2sin²α+2cos²α=2
ե)(ctgα-tgα)sin2α=(cosα/sinα – sinα/cosα)=cos²α-sin²α/sinα cosα×2sinα cosα 2cos2α

Վարժ. 144

ա)1+sin2α=(sinα+cosα)²
1+sin2α=sin²α+2sinαcosα+cos²α
1+sin2α=1+sin2α
sin2α=sin2α

Ապացուցված է

բ)1-sin2α=(sinα-cosα)²
1-sin2α=sin²α-2sinαcosα+cos²α
1-sin2α=1-sin2α
-sin2α=-sin2α

Ապացուցված է

գ)cos2α/1+sin2α=cosα-sinα/cosα+sinα
cos2α×(cosα+sinα)=(cosα-sinα)×(1+sin2α)
cosα+sin(-α)-cosα+sinα=0
-sinα+sinα=0
0=0

Ապացուցված է

Վարժ. 145

բ)ctgα-ctg2α=1/sin2α
sinα/sinα sin2α=1/sin2α
1/sin2α=1/sin2α

Ապացուցված է

գ)tgα+ctgα=2/sin2α
sinα/cosα+cosα/sinα=2/2sinαcosα
sinα/cosα+cosα/sinα=1/sinαcosα
sinα/cosα+cosα/sinα-1/sinαcosα=0
sin²α+cos²α-1=0
1-1=0
0=0

Ապացուցված է

դ)ctgα-tgα=2ctg2α
1/tgα-tgα=ctg²α-1/ctgα
1/tgα-tgα-1-tg²α/tgα=0
1-tg²α-(1-tg²α)/tgα=0
1-tg²α-1+tg²α=0
0+0=0
0=0

Ապացուցված է

Վարժ. 146

ա)1+sin2α/(sinα+cosα)²=1+sin2α/sin²α+2sinαcosα+cos²α=1+sin2α/1+sin2α=1
բ)1-2sin²α/8=cos2×α/8=cosα/4
գ)1-8cos²α sin²α=1-2sin²2α=cos4α

Վարժ. 147

ա)2cos²α-cos2α=2cos²α-(cos²α-sin²α)=2cos²α-cos²α+sin²α=cos²α+sin²α=1
բ)2sinα-2sinαcosα/2sinα+2sinαcosα=2sinα×(1-cosα)/2sinα×(1+cosα)=1-cosα/1+cosα=tg²(α/2)
գ)1-cos2α+sin2α/1+cos2α+sin2α=2sin²α+2sinαcosα/2cosα×(cosα+sinα)=sinα/cosα=tgα

Վարժ. 138

ա)sin2α/sinα=2sinαcosα/sinα=2cosα
բ)sin2α/2cos²α=2sinα×cosα/2cos²α=sinα/cos=tgα
գ)sin2α/sinα -cosα=2sinα×cosα/sinα-cosα=2cosα-cosα=cosα
դ)cos2α-cos²α=cos²α-sin²α-cos²α=sin²α
ե)sin²α+cos²α=sin²α+cos²α-sin²α=cos²α

զ)sin²α-cos²α=(cos²α-sin²α)=-cos²α

Վարժ. 139

ա)2sin π/12 -cos π/12=sin π/6=1/2=0,5
բ)cos²15°-sin²15°=cos30°=√3/2
գ)8sin²π/8 cos²π/8=2×(√2/2)²=2×2/4=2×1/2=1
դ)2(sin²π/8-cos²π/8)²=2×(-cos π/4)²=2cos²π/4=2×(√2/2)²=2×2/4=2×1/2=1

Վարժ. 140

ա)2tg15°/1-tg²15°=tg30°=√3/3
բ)2√3 tg75°/1-tg²75°=2√3 tg(30°+45°)/1-tg(30°+45°)=6+4√3/-6-4√3=-1
գ)ctg²3π/8-1/2ctg 3π/8=ctg2×3π/8=ctg3π/8=-1

Անանիա Շիրակացին եղել է Անանիա գյուղից։ Շիրակացին, Դպրեվանքի դպրոցում նախնական կրթություն ստանալով, որոշեց նվիրվել համրողական արվեստի՝ մաթեմատիկայի ուսումնասիրմանը:

Նա համոզված էր, որ ամեն ինչի հիմքում թվերն են, իսկ համրողական արվեստը համարում էր բոլոր գիտությունների հիմքը: Մեզանից ավելի քան 1300 տարի առաջ, երբ աշխարհում հմուտ մասնագետներն ու ուսուցիչները շատ քիչ էին, ուսումը շարունակելու, գիտելիքները խորացնելու միակ միջոցը ճամփորդելն էր ու հեռավոր երկրներում ուսուցիչ գտնելը: Շիրակացին այդպես էլ վարվեց: Ընդհանուր առմամբ` նա արտասահմանում ճանապարհորդեց և սովորեց 11 տարի, որից 8-ը՝ հույն նշանավոր գիտնական Տյուքիկոս Բյուզանդացու դպրոցում: Ուսուցչի հարուստ գրադարանը Շիրակացու համար դարձավ երկրորդ ուսումնարանը: Հայ երիտասարդը, մաթեմատիկայից բացի, ուսումնասիրեց նաև պատմություն, բժշկագիտություն, աշխարհագրություն և այլ գիտություններ: Ուսումնառությունն ավարտելուց հետո Շիրակացին շտապեց վերադառնալ Շիրակ և  դպրոց բացեց, որտեղ գալիս էին սովորելու Հայաստանի տարբեր վայրերից:Անանիա Շիրակացին ոչ միայն սովորեցնում, այլև դասագրքեր էր ստեղծում, որոնք այնուհետև բազմացնում էին՝ մեկը մյուսից արտագրելով: Հարյուրամյակներ շարունակ հայ երեխաներն ու պատանիները մաթեմատիկան սովորել են Շիրակացու խնդրագրքով, որտեղ ամփոփված խնդիրները նաև հետաքրքիր տեղեկություններ էին պարունակում պատմությունից, աշխարհագրությունից, տարբեր արհեստներից ու ժամանակին բնորոշ առօրյայից: Որոշ խնդիրներ ունեին զվարճալի բնույթ և կոչվում էին խրախճանականներ: Անանիա Շիրակացու կարևոր աշխատություններից են ժամանակի ճշգրիտ հաշվարկմանը ծառայող տոմարական հաշվումների աղյուսակներն ու բոլորակները (աստղագիտական աղյուսակներ), որոնք տվյալներ են պարունակում ոչ միայն հայկական, այլև քաղաքակիրթ մյուս ժողովուրդների տոմարական համակարգերից: Իր աստղագիտական աշխատություններում Անանիա Շիրակացին քննության է առել Արեգակի, Երկրի, Լուսնի, աստղերի վրա և Տիեզերքում տեղի ունեցող երևույթներ: Նա համոզված էր, որ Երկիրը գնդաձև է, պարզել է, որ լույսի տարածման արագությունը շատ ավելի մեծ է, քան ձայնինը, գտնում էր, որ Լուսինը սեփական լույսից զուրկ, պինդ մարմին է, որը երևում է Արեգակի ճառագայթների անդրադարձմամբ, իսկ նրա վրա երևացող մութ բծերը մակերևութային անհարթություններ են: Շիրակացին բացատրել է նաև Լուսնի փուլերի առաջացումը, Արեգակի և Լուսնի խավարումները: Ծովերի մակընթացություններն ու տեղատվությունները նա համարել է Լուսնի ազդեցության արդյունք: Համեմատական դատողություններով եզրակացրել է, որ Արեգակը մեծ է թե՜ Լուսնից, թե՜ Երկրից և գտնվում է շատ մեծ հեռավորության վրա: Շիրակացին նշել է նաև աստղագիտության մի շարք գործնական կիրառություններ, մասնավորապես՝ նավագնացության ժամանակ աստղերով կողմնորոշվելու և Արեգակի դիրքով օրվա ժամերը որոշելու եղանակը: Շատ հետաքրքրական են նաև թանկարժեք քարերին, չափ ու կշռին, ֆիզիկայի և օդերևութաբանության տարբեր հարցերի վերաբերող նրա ուսումնասիրությունները: Անանիա Շիրակացու հուշարձանները կանգնեցված են Մատենադարանի և Երևանի պետական համալսարանի առջև: ՀՀ-ում սահմանվել է Անանիա Շիրակացի մեդալ, որով պարգևատրվում են գիտության և մշակույթի բնագավառում ակնառու ձեռքբերումների համար:

  Անանիա Շիրակացու Խնդիրները

Խնդիր 1․ Իմ մերձավոր մարդկանցից մեկը Մեկնելով Բահլ՝ շահաբեր գնով մարգարիտ ձեռք բերեց։ Տուն վերադառնալիս, հասնելով Գանձակ, նա իր գնած մարգարիտի կեսը վաճառեց հատը 50 դրամով։ Գալով Նախիջևան՝ վաճառեց նրա քառորդ մասը, հատը 70 դրամով, ապա հասնելով Դվին՝ վաճառեց նաև այդ մարգարիտի 1/12 մասը՝ հատը 50 դրամով։ Երբ նա եկավ մեզ մոտ՝ Շիրակ, նրա մոտ մնացել էր ընդամենը 24 հատ մարգարիտ։ Արդ, այդ մնացածով իմացի՛ր, թե ընդամենը քանի մարգարիտ էր գնել նա և քանի՞ դրամ էր ստացել վաճառած մարգարիտներից։

Լուծում

1/2+1/4+1/12=6/12+3/12+1/12=10/12

12/12-10/12=2/12=24 մարգարիտ

12:2=6

6×24=144 մարգարիտ

144:2=72

72×50=3600դրամ

72:2=36

36×70=2526դրամ

24:2=12

12×50=600դրամ

300+2526+600=4200+2526=6726դրամ

Պատ.` ընդ. գնված մարգարիտներ — 144 հատ, վաճառվաներից աշխատած գումար — 6726դրամ:

Խնդիր 2․ Կոմոդը գնելով 36 ռուբլով, այնուհետև հարկադրված եղա այն վաճառել այդ գնի 7/12֊ով: Քանի՞ ռուբլի կորցրեցի այդ գործարքի պատճառով:

Լուծում
36÷12=3
3×7=21
36-21=15 (կորցրեց)
Պատ.՝ 15:

Խնդիր 3․ Սպաների աշխատավարձը բաշխվում էր այսպես. 1/4 մասը՝ պատվազորներին, 1/8֊ը ավագներին, իսկ մնացած 150 կենդինարը՝ մյուս հեծյալներին: Իմացի՛ր, թե ամբողջ աշխատավարձը որքա՞ն էր:

Լուծում
1/4+1/8=3/8
8/8-3/8=5/8
150÷5/8=240
Պատ.՝ 240 կենդինար:

tgα=sinα/cosα
ctgα=cosα/sinα        
tgα*ctgα=1
sin²α+cos²α=1       
1+ tg²α=1/cos²α         
1 + ctg²α=1/sin²α

Լրացուցիչ առաջադրանքներ՝

Վարժ. 115

ա) |3x-5|=7

3x-5=7
3x-5=-7

x=4
x=-2/3

բ) |6x-7|-7x=1

6x-7-7x=1 , 6x-≥0
-(6x-7)-7x=1,  6x-7<0

x=-8 , x≥7/6
x=6/13 , x<7/6

x ⋲ Ø
x=6/13

x=6/13

գ) |8x-4|=|9x-5|

8x-4=9x-5
8x-4=-(9x-5)

x=1
x=9/17

Վարժ. 116

ա)  |2-7x|<5

2-7x<5 , 2-7x≥0
-(2-7x)<5 , 2-7x<0

x>-3/7 , x≤2/7
x<1, x>2/7

x ⋲ (-3/7, 2/7]
x ⋲ (2/7, 1]

x ⋲ (-3/7, 1)

բ) |5x-5|≥2

5x-5≥2 , 5x-5≥0
-(5x-5)≥2 , 5x-5<0

x≥7/5 , x≥1
x≤3/5 , x<1

x ⋲ [7/5 , +~)
x ⋲ (-~ , 3/5]

x ⋲ [-~ , 0,6) U [1,4, +~)

գ) |7x+2| ≤ |3-x|

|7x+2|-|3-x| ≤ 0

7x+2-(3-x) ≤ 0 , 7x+2 ≥ 0 , 3-x ≥ 0
-(7x+2)-(3-x) ≤ 0 , 7x+2<0 , 3-x ≥ 0
7x+2-(-(3-x)) ≤ 0 , 7x+2 ≥ 0 , 3-x<0
-(7x+2)-(-(3-x)) ≤ 0 , 7x+2<0 , 3-x<0

x ≤ 1/8 , x ≥ -2/7 , x ≤ 3
x ≥ -5/6 , x<-2/7 , x ≤ 3
x ≤ -5/6 , x ≥ -2/7, x>3
x ≥ 1/8 , x<-2/7 , x>3

x ≤ 1/8 , x ⋲ [-2/7 , 3]
x ≥ -5/6 , x ⋲ (-~ , -2/7)
x ≤ -5/6 , x ⋲ (3, +~)
x ≥ 1/8 , x ⋲ Ø

x ⋲ [-2/7 , 1/8]
x ⋲ [-5/6, -2/7)
x ⋲ Ø
x ⋲ Ø

x ⋲ [-5/6 , 1/8]

Երրորդ մակարդակ

1. Մի կազմակերպությունում բարձրագույն կրթություն ունի աշխատող տղամարդկանց 75%-ը, իսկ կանանց՝ 48%-ը։ Աշխատող տղամարդկանց թիվը կազմում է կանանց 80%-ը։ Այդ կազմակերպությունում աշխատողների քանի՞ տոկոսն ունի բարձրագույն կրթություն։

0.6

2.Ի՞նչ թվանշան է գրված հետևյալ արտահայտության արժեքի միավորների կարգում ՝ 3^47 + 5^43 + 2^12 ։

3^47=3^44*3^3 3, 9, 7,1, 3, 9 …
3^44 վերջանում է 1- ով
3^3 վերջանում է 7- ով =>3^44*3^3 վերջանում է 7- ով

5-ի յուրաքանչյուր աստիճան վերջանում է 5- ով

2^12 2, 4, 8, 6, 2, 4 …
2^12 վերջանում է 6- ով

7+5+6 —>8

3. Ուղղանկյան երկարությունը 2 անգամ մեծ է լայնությունից, իսկ մակերեսը 50 է ։ Գտի՛ր ուղղանկյան պարագիծը։

երկ. — 2x
լայն. — x

S=2x*x=50
x^2=25
x=5
2x=10
P=2(10+5)=30

4. Արմենուհին խնջույքի սեղանը կարող է պատրաստել 3 ժամում, իսկ Վարդուհին՝ կես ժամում։ Եթե միասին աշխատեն, որքա՞ն ժամանակում նրանք կպատրաստեն խնջույքի սեղանը։

1ր-1/30+1/180=7/180

7/180 1ր
1 1ր

180/7ր

6.Գտե՛ք ամենափոքր բնական թիվը, որն ունի ճիշտ 5 հատ բաժանարար (օրինակ՝ 12 թիվն ունի 6 հատ բաժանարար՝ 1, 2, 3, 4, 6 և 12):

16

7. Դավիթը գրատախտակին եռանիշ թիվ գրեց, որի բոլոր թվանշանները տարբեր էին, հետո այն բազմապատկեց ինչ -որ միանիշ թվով և ստացավ 2331: Գտի՛ր այդ եռանիշ թիվը:

259

8. Որևէ թվից հանեցին իր թվանշանների գումարը։ Այնուհետև՝ ստացված թվից հանեցին այդ թվի թվանշանների գումարը և այսպես շարունակ։ Երբ նույն գործողությունն կրկնեցին 11-րդ անգամ, ստացվեց 0: Գտեք սկզբնական թիվը։

100

10. ABCD ուռուցիկ քառանկյան AB = BC = CD, անկյունագծերից յուրաքանչյուրը հավասար է ուռուցիկ քառանկյան կողմերից մեկին։ Գտի՛ր քառանկյան անկյունների աստիճանային չափերը:

4x+2y=360

2x+y=180
x+3y=180

y=180-2x
x+3*180-6x=180
5x=2*180
x=2*180/5=72
360-(2*72)/2=108

Վարժ. 126

ա) cos(π/4-α)=cosπ/4 cosα + sinπ/4 sinα=√2/2 × cosα + √2/2 sinα=(cosα+sinα)√2/2

բ) cos(π/4+α)=cosπ/4 cosα – sinπ/4 sinα=√2/2 × cosα – √2/2 sinα=(cosα-sinα)√2/2

գ) sin(π/4-α)=sinπ/4 cosα – cosπ/4 sinα=√2/2 × cosα – √2/2 sinα=(cosα-sinα)√2/2

դ) sin(π/4+α)=sinπ/4 cosα + cosπ/4 sinα=√2/2 × cosα + √2/2 sinα=(cosα+sinα)√2/2

ե) tg(π/4+α)=tgπ/4+tgα / 1-tgπ/4tgα=1+tgα/1-tgα

զ) tg(π/4-α)=tgπ/4-tgα / 1+tgπ/4tgα=1-tgα/1+tgα

Վարժ. 127

ա) α=15°
sinα=sin15°=sin(45°-30°)=sin45°cos30°-cos45°sin30°=√2/2×√3/2-√2/2×√1/2=√6/4-√2/4=√6-√2 / 4
cosα=cos15°=cos(45°-30°)=cos45°cos30°+sin45°sin30°=√2/2×√3/2+√2/2×√1/2=√6/4+√2/4=√6+√2/4
tgα=tg15°=tg(45°-30°)=tg45°-tg30° / 1+tg45°tg30°=1-√3/3 / 1-(1×√3/3)=3-√3/3 / 3+√3/3=3-√3 / 3+√3=9-6√3+3/6=12-6√3/6=6(2-√3)/6=2-√3
ctgα=ctg15°=ctg(45°-30°)=ctg45°ctg30°+1/ctg30°-ctg45°=1√3+1/√3-1=3+2√3+1/2=4+2√3/2=2(2+√3)/2=2+√3

բ) α=75°
sinα=sin75°=sin(30°+45°)=sin30°cos45°+cos30°sin45°=1/2×2√2+3√2×√2/2=√2/4+√6/4=√2+√6/4=√2(√3+1)/4
cosα=cos75°=cos(30°+45°)=cos30°cos45°-sin30°sin45°=3√2×√2/2-1/2×2√2=√6/4-√2/4=√6-√2/4=2(√3-1)/4
tgα=tg75°=(30°+45°)=tg30°+tg45°/1-tg30°tg45°=√3+3/3-√3=(√3+3)²/6=3+6√3+9/6=12+6√3/6=6(2+√3)/6=2+√3
ctgα=tg75°=(30°+45°)=ctg30°ctg45°-1/ctg30°+ctg45°=√3-1/√3+1=(√3-1)²/2=3-2√3+1/2=4-2√3/2=2(2-√3)/2=2-√3

գ) α=105°
sinα=sin105°=sin(45°+60°)=sin45°cos60°+cos45°sin60°=√2/2×1/2+√2/2×√3/2=√2/4+√6/4=√2(√3+1)/4
cosα=cos105°=cos(45°+60°)=cos45°cos60°-sin45°sin60°=√2/2×1/2-√2/2×√3/2=√2/4-√6/4=-√2(√3-1)/4
tgα=tg105°=tg(45°+60°)=tg45°tg60°/1+tg45°tg60°=(1+√3)×(1+√3)/-2=(1+√3)²/-2=-4+2√3/2=-(2+√3)=-2-√3
ctgα=ctg105°=ctg(45°+60°)=ctg45°ctg60°-1/ctg45°+ctg60°=√3-3/3+√3=(√3-3)×(3-√3)/6=6√3-12/6=6(√3-2)/6=√3-2

դ) α=165°
sinα=sin165°=sin(30°+135°)=sin30°cos135°+cos30°sin135°=1/2×(-√2/2)+√3/2×√2/2=√2(√3-1)/4
cosα=sin165°=sin(30°+135°)=cos30°cos135°-sin30°sin135°=√3/2×(-√2/2)-1/2×√2/2=-√2(√3+1)/4
tgα=tg165°=tg(30°+135°)=tg30°+tg135°/1-tg30°tg135°=√3-3/3+√3=(√3-3)×(3-√3)/6=6√3-12/6=6(√3-2)/6=√3-2
ctgα=ctg165°=ctg(30°+135°)=ctg30°ctg135°-1/ctg30°+ctg135°=-√3-1/√3-1=(-√3-1)×(√3+1)/2=-4-2√3/2=2(-2-√3)/2=-2-√3

Վարժ. 129

ա) √2 sin(π/4+α)-sinα=√2(sinπ/4+cosα + cosπ/4 sinα)-sinα=2(cosα+sinα)/2 – sinα=cosα+sinα-sinα=cosα

բ) √2 cos(π/4-α)-cosα=√2(cosπ/4+cosα + sinπ/4 sinα)-cosα=2(cosα+sinα)/2 – cosα=cosα+sinα-cosα=sinα

գ) 2sin(π/6+α)-cosα=2(sinπ/6cosα + cosπ/6 sinα)-cosα=2× cosα+√3sinα/2 -cosα=cosα+√3sinα-cosα=√3sinα

դ) √2 cos-2cos(π/4+α)=√2 cos-2(cosπ/4 cosα-sinπ/4 sinα)=√2cosα-(√2cosα-√2sinα)=√2cosα-√2cosα+√2sinα=√2sinα

Վարժ. 130

ա) √2 cos(3π/4 +α)+cosα / √2 cos(5π/4 -α)+sinα=√2(cos 3π/4 cosα-sin 3π/4 sinα)+cosα / √2(cos 5π/4 cosα+sin 5π/4 sinα)+sinα=-cosα-sinα+cosα/-cosα-sinα+sinα=-sinα/-cosα=tgα

բ) sin(2π/3 +α)+1/2 ×sinα / sin(7π/6 -α)+1/2 ×cosα= sin(2π/3 +α)+sinα/2 / sin(7π/6 -α)+cosα/2=√3 cosα / √3 sinα=cosα/sinα=ctgα

Վարժ. 131

ա) sin27°cos3°+cos27°sin3°=sin30°=1/2=0,5

բ) cos87°cos27°+sin87°sin27°=cos60°=1/2=0,5

Վարժ. 132

ա)(sin π/15 +cos π/10)² + (cos π/15 +sin π/10)²=3

sinπ/15² + 2sinπ/15cos×π/10 + cosπ/10²+cosπ/15²+2cosπ/15×sinπ/10 + sin π/10²=2+( 1/2 -sinπ/30)+( 1/2 +sinπ/30)=2+ 1/2 -sinπ/30+1/2+sinπ/30=3

բ) (cos π/9 -cos 2π/9)² + (sin π/9 +sin 2π/9)²=1

cos π/9² – 2cos π/9×cos 2π/9 + cos 2π/9² + sin π/9 + 2sin π/9×sin 2π/9 + sin 2π/9²=2-(cos π/9 + 1/2)+cos π/9 -1/2=2-cos π/9 – 1/2 + cos π/9 – 1/2=1

Վարժ. 133

ա) cos23°-tg22°sin23°/sin8°+tg22°cos8°=√2

cos23°-sin22°/cos22°×sin23° / sin8°+sin22°/cos22°×cos8°=cos(23°+22°)/sin(22°+8°)=cos45°/sin30°=√2/2×2/1=√2

Վարժ. 137

ա) ( 5(m-2)/m³-8 – m+2/m²+2m+4 ) × 2m²+4m+8/m-3=( 5(m-2)/(m-2)×(m²+2m+4)-m+2/m²+2m+4)×2(m²+2m+4)/m-3=5-(m+2)/m²+2m+4×2(m²+2m+4)/m-3=-(m-3)×2/m-3=-1×2=-2

բ) (n+2/3n -2/n-2 -n-14/3n²-6n)÷n+2/6n×1/n-5=(n+2/3n-6n+n-14/3n×(n-2))×6n/n+2×1/n-5=(n+2/3-7/3n)×6n/n+2×1/n-5=n+2-7/3n×6n/n+2×1/n-5=n-5/3×6/n+2×1/n-5=2/n+2

N. 117

ա) sin(π/2-α)=cos α
բ) tg(π/2-α)=ctg α
գ) cos(π/2-α)=cos(π/2+(-α))=-sin(-α)=sin α
դ) ctg(α-π)=ctg(-π-α)=-ctg(π-α)=ctg α
ե) tg(α-π)=tg(-π-α)=-tg(π-α)=tg α
զ) cos(3/2×π-α)=-sin α
է) sin(α-3/2×π)=sin(-3/2×π+α)=-sin(3/2×π-α)=cos α
ը) cos(π+α)=-cos α

N. 118

ա) α=210°` sin(210°)=sin(180°+30°)=-sin30°=-1/2; cos(210°)=cos(180°+30°)=-cos30°=-√3/2; tg(210°)=tg(180°+30°)=tg30°=√3/3; ctg(210°)=ctg(180°+30°)=ctg30°=√3
բ) α=5/4×π՝ sin(5/4×π)=sin(225°)=-√2/2; cos(5/4×π)=cos(225°)=-√2/2; tg(5/4×π)=tg(225°)=1; ctg(5/4×π)=ctg(225°)=1
գ) α=4/3×π՝ sin(4/3×π)=sin(240°)=-√3/2; cos(4/3×π)=cos(240°)=-1/2; tg(4/3×π)=tg(240°)=√3; ctg(4/3×π)=ctg(240°)=√3/3
դ) α=300°՝ sin(300°)=-√3/2; cos(300°)=1/2=0,5; tg(300°)=-√3; ctg(300°)=-√3/3
ե) α=9/4×π՝ sin(9/4×π)=√2/2; cos(9/4×π)=√2/2; tg(9/4×π)=1; ctg(9/4×π)=1
զ) α=330°՝ sin(330°)=-1/2=-0,5; cos(330°)=√3/2; tg(330°)=-√3/3; ctg(330°)=-√3

N. 119

ա) ctg(90°-α)=tg α
բ) cos(90°+α)=-sin α
գ) sin(270°-α)=sin(180°+90°-α)=-sin(90°-α)=-cos α
դ) sin(270°+α)=sin(180°+90°+α)=-sin(90°+α)=-cos α
ե) tg(α-270°)=tg(α-180°-90°)=tg(-180°-90°+α)=-tg(180°+90°-α)=tg(90°-α)=-ctg α
զ) ctg(α-180°)=ctg α

N. 120

ա) cos(810°+α)=cos(90°+720°+α)=-sin(720°+α)=-sin α
բ)sin(990°-α)=sin(270°+720°-α)=-cos(720°-α)=-cos α
գ)tg(α-450°)=-ctg α
դ) tg(7π-α)=-tg α
ե) cos(α-13π/2)=cos(α-π/2-6π)=cos(α-π/2)=sin α
զ) ctg(7π/2+α)=ctg(π/2+3π+α)=ctg(π/2+α)=-tg α

N. 121

ա)sin²(π+x)=sin²π+sin²x=sin²x
բ) cos²(3π/2-x)=0+sin²(x)=sin²x
գ) tg²(π+x)=tg²π+tg²x=tg²x
դ) cos⁴(π-x)=-cos⁴(x)=cos⁴x
ե) sin³(3π/2-x)=-cos³x
զ) ctg³(3π/2+x)=-tg³x

N. 122

ա) sin²(180°-α)+sin²(270°-α)=sin²α+(-cos²α)=sin²α+cos²α=1
բ) sin(90°-α)+cos(180°+α)+tg(270°-α)+ctg(360°+α)=sin(90°-α)+cos(180°+α)-ctg α+ctg α=0
գ) sin(π+α)cos(π/2+α)-cos(2π+α)sin(3π/2-α)=-sin α×(-sin α)-cos α×(-cos α)=sin²α+cos²α=1
դ) tg α tg(π/2+α)tg(π+α)tg(3π/2+α)=tg α×(-ctg α)×tg α tg(3π/2+α)=-tgα × ctgα × tgα × (-ctg α)=tg α×1/tg α×tg α×1/tg α=1